Le contenu computationnel des preuves: No-counterexample interpretation et spécification des théorèmes de l’arithmétique

Le contenu computationnel des preuves : No-counterexample interpretation et spécification des théorèmes de l'arithmétique mémoire sous la direction de Jean-Louis Krivine par Denis Bonnay septembre 2002 D.E.A. logique et fondements de l'informatique Université Paris VII 1 Contents 1 La preuve de consistance d'Ackermann 4 2 Que nous apporte la preuve d'un théorème, en plus du simple fait de savoir que le théorème est une conséquence de certains axiomes ? Il s'agit de voir quel contenu purement calculatoire peutêtre extrait de preuves qui, lorsqu'elles utilisent toutes les ressources de la logique classique ne vont pas forcément ex-hiber pour nous les objets dont elles parlent. Si l'on applique ce programmè a l'arithmétique, on aimerait que les preuves nous fournissent des fonctions cal-culables. Mais l'interprétation nä ive selon laquelle la preuve d'unénoncé de la forme ∀ 1 ∃y numéro x 1 avec l'entrée x 2 s'arrête au bout de y pas. On a bien : ⊢ AP ∀x 1 ∀x 2 ∃y(Halt(x 1 , x 2 , y) ∨ ∀z ∼ Halt(x 1 , x 2 , z)) ou encore ⊢ AP ∀x 1 ∀x 2 ∃y∀z(Halt(x 1 , x 2 , y)∨ ∼ Halt(x 1 , x 2 , z)) Mais il n'y a pas de fonction récursive ψ telle que Halt(x 1 , x 2 , ψ(x 1 , x 2)∨∀z ∼ Halt(x 1 , x 2 , z). L'interprétation nä ive est donc fausse au moinsà partir de Π 3 et donc de Σ 2. Nous allons présenter la solution de Kreiseì a ceprobì eme, qui est connue sous le nom de No-counterexample interpretation. L'idée de la démonstration de Kreisel est que les preuves de non-contradiction de l'arithmétique, dont le but, dans l'esprit du programme Hilbertien, ´ etait de montrer que le détour par des moyens de preuves non-finitistes pour prouver desénoncés purement numériquesétait acceptable, peuvent en faitêtré egalement utilisées pour donner un sens finitiste auxénoncés complexes. Nous commencerons donc par donner la preuve de consistance d'Ackermann sur laquelle s'appuie toute la démonstration de Kreisel [8] et [9]. Nous présenterons enfin un des prolongements contemporains de ce programme via la réalisabilité classique. Le programme d'extraction du contenu computationnel des preuves est repris, mais les méthodes changent. On ne cherche plusà se ramenerà des fonctions récursives, comme le faisait Kreisel ou comme le font les interprétations fonctionnelles 1 dans l'esprit de l'interprétation Dialectica de Gödel (voir [4] et [2] pour une …